### Angewandte Stochastik II
### Blatt 2

### WS 2013/14
### Evgeny Spodarev
### Jürgen Kampf


# Aufgabe 1

1+1/4+1+1/5+1/6
5/(1+1/4+1+1/5+1/6)



# Aufgabe 2

# a) Dichte 
st <- rexp(200,rate=2)

# 1. Versuch
hist(st)

#Lösung
hist(st, freq=F, main="Exp(2)-Verteilung",breaks=18)

curve(dexp(x,rate=2),add=T)


# b) Empirische Verteilungsfunktion

plot(ecdf(st), main="Empirische Verteilungsfunktion")


# c) Eigene empirische Verteilungsfunktion

# Erste Möglichkeit
#mit vertikalen Linien
x_stellen=c(st, st)
n=length(st)
y_stellen=c((0:(n-1))/n,(1:n)/n)

#Hinzufügen zu vorhandenem Plot
lines(sort(x_stellen), sort(y_stellen), col="red")
#Erzeugen eines neuen Plots
plot(sort(x_stellen), sort(y_stellen), type="l", xlab="x", ylab="F_hat_n(x)")
lines(c(min(st)-1,min(st)), c(0,0))
lines(c(max(st),max(st+1)),c(1,1))

# Ohne vertikale Linien
plot(c(min(st),max(st)),c(0,1),col="white", xlab="x", ylab="F_hat_n(x)")
st_sort=sort(st)
n=length(st)
for(i in (1:(n-1))){
lines(c(st_sort[i],st_sort[i+1]), c(i/n,i/n))
}
lines(c(min(st)-1,min(st)), c(0,0))
lines(c(max(st),max(st+1)),c(1,1))

# Alternative
# siehe Abschnitte 3.2 und 6.3.1 im R-Skript
myECDF<-function(x){
Erg=x;
for(i in (1:length(x))){
Erg[i]=sum(st<=x[i])/length(st)
};
Erg;
}

curve(myECDF)
### Großer Nachteil: Dies ist erzeugt keine exakte Treppenfunktion



#Aufgabe 3

data(precip)
help(precip)

# a)
quantile(precip,probs=0.25)

# b)
sort(precip)[10]

# c)
length(precip)*0.25
sort(precip)[18]

# Lösung
help(quantile) 
quantile(precip,probs=0.25,type=2)


# d) 
hist(precip)
hist(precip, breaks=5*(0:14))
### Weder unimodal noch symmetrisch.

# e)
boxplot(precip)
### Unten drei Ausreißer, oben einer.